20190728个人笔记(川大)

官网课程视频地址

笔记主页

复习

Lax-M定理的推广

(EGP) :求uUu\in U使得
a(u,v)=F(v),vV. a(u,v) = F(v), \quad \forall v\in V.

注:这种推广的L-M定理变成了必要条件

Banach-N-N-B定理

假设连续性和FF有界性成立,则(EGP)存在唯一的充要条件是广义强制性成立。参考:Babuska and Aziz’s paper.
给出稳定性估计:
a(u,v)=F(v). a(u,v)=F(v).

αuvsupvV,v0a(u,v)vV=supF(v)vV=F \begin{matrix} \alpha || u ||_v \leq & \sup_{v\in V,v\neq0} \frac{a(u,v)}{||v||_V} \\[1em] & =\sup \frac{F(v)}{||v||_V} =||F||_*\\ \end{matrix}

Petror-Galerkin method

Let UMUU_M \subset U,VNVV_N\subset V, 其中M=dimUM,N=dimVNM=\dim U_M, N=\dim V_N
定义P-G方法(EGP):求uMUMu_M \in U_M使得
a(uM,vN)=F(vN),vNVN. a(u_M, v_N) = F(v_N),\quad \forall v_N \in V_N.
问:解是否存在,收敛性如何?

推广的Cea引理

假设a(,),Fa(,),F满足推广的条件,则(EGP)存在唯一解,假设存在αN>0\alpha_N >0使得
supvNVNa(wM,vN)vNVNαMwMVM,(a) \sup_{v_N\in V_N} \frac{a(w_M, v_N)}{|| v_N ||_{V_N}} \geq \alpha_M || w_M ||_{V_M}, \tag a
以及

supwUa(wM,vN)>0,vNV,vN0(b) \sup_{w\in U} a(w_M,v_N)>0, \quad v_N \in V,v_N\neq0 \tag b

(EPG)NM(EPG)_N^M存在唯一解uMUMu_M\in U_M

证明

(EPG)NM(EPG)_N^M可写成
Aξ=b\mathbb A \bm \xi = \bm b
A=[aij]NM,  aij=a(ψj,ϕi),  b=[F(ϕi)]N\mathbb A=[a_{ij}]_{NM},\;a_{ij}=a(\psi_j,\phi_i), \;\bm b = [F(\phi_i)]_{N}

练习

如果(a)与(b)成立,则有
σmin(A)αh>0 \sigma_{\min} (\mathbb A) \geq \alpha_h >0
因此A\mathbb A是满秩的,从而线性方程组的解Aξ=b\mathbb A \bm \xi = \bm b存在唯一。其中σmin(A)\sigma_{\min} (\mathbb A)A\mathbb A的最小奇异值。

误差分析

eM=uuM=uwM+wMuM:=ηM+ξMe_M = u-u_M = u-w_M + w_M - u_M := \eta_M + \xi_M, wMUM\forall w_M \in U_M,根据误差方程a(ηM,vN)=0,vnVNa(\eta_M, v_N)=0, \forall v_n\in V_N则有

αMξMVMsupvNVNa(ξM,vN)vNV=supvNVNa(ηM,vN)vNV \alpha_M || \xi_M ||_{V_M} \leq \sup_{v_N\in V_N} \frac{a(\xi_M, v_N)}{|| v_N ||_{V}} = - \sup_{v_N\in V_N} \frac{a(\eta_M, v_N)}{|| v_N ||_{V}}

于是有
eMVηMV+ξMV=(1+CαM)ηMV || e_M ||_{V} \leq || \eta_M||_V + || \xi_M||_V = (1+\frac{C}{\alpha_M})|| \eta_M ||_V

投影法

a(uM,vN)=a(u,vN),vNVN a(u_M, v_N) = a(u, v_N), \forall v_N \in V_N
UMU_MUU的椭圆投影。

定义VN=Vh,VM=VhV_N = V_h, V_M = V_h,其中Vh,UhV_h, U_h是两个和网格Th\mathcal T_h相关,(可以不同)的有限元空间

能量范数估计

还是原来的老套路,从略,证明的时候注意函数空间就OK

非协调元

只考虑Galerkin框架,和PGFEM类似,取VN=UM,V=UV_N = U_M, V=U,非协调性VNVV_N \nsubseteq V
主要问题

针对求解

如果成立
aN(u,vN)=FN(vN),vNVN a_N(u, v_N) = F_N(v_N) ,\quad v_N \in V_N
(NCGP)N(NC-GP)_N是相容格式,否则是非相容格式

注: 对于相容格式,同样成立Cea引理,因此误差分析和协调元一致

非相容格式

特点:a(uuh,vh)0a(u-u_h, v_h) \neq 0

两部分误差,一部分是空间逼近误差,另一部分是非协调误差

引理(Strang 2th)

假设

uNVN\exist u_N \in V_N使得

uNVNMα||u_N||_{V_N} \leq \frac{M}{\alpha}

以及

uuNVNC1infvNVNuvNVN+1αsupvNVNa(uuN,VN)vNVN||u - u_N ||_{V_N} \leq C_1 \inf_{v_N \in V_N} ||u-v_N||_{V_N} + \frac{1}{\alpha}\sup_{v_N \in V_N} \frac{a(u-u_N, V_N)}{||v_N||_{V_N}}

其中C1=(1+Cα)C_1 =(1+\frac{C}{\alpha}).

证明
eN=uuN=(uvn)+(vNuN)=ηN+ξNe_N = u - u_N = (u-v_n)+(v_N - u_N) = \eta_N + \xi_N

aξNVN2a(ξN,ξN)=a(eN,ξN)a(ηN,ξN) a||\xi_N||^2_{V_N} \leq a(\xi_N, \xi_N) = a(e_N , \xi_N)- a( \eta_N, \xi_N)

ξNVNCαηNVN+1αa(eN,ξN)ξNVN ||\xi_N ||_{V_N}\leq \frac{C}{\alpha} ||\eta_N||_{V_N} + \frac{1}{\alpha} \frac{a(e_N, \xi_N)}{||\xi_N||_{V_N}}
最后运用下三角不等式可证得结果

Δu=f -\Delta u = f

事实:VhNCC0(Ω)V_h^{NC}\nsubseteq C^0(\Omega)

所以VhNCH1(Ω)V_h^{NC} \nsubseteq H^1(\Omega)

分片定义
ah(wh,vh)=KThKwhvhdx a_h(w_h, v_h) = \sum_{K\in \mathcal T_h} \int_K \nabla w_h \cdot \nabla v_h dx

Fh(vh)=KThKfvhdx=Ωfvdx=F(v) F_h(v_h) = \sum_{K\in \mathcal T_h} \int_Kf v_h dx = \int_{\Omega} fvdx = F(v)

P1-非协调有限元方法

vhVhNCv_h \in V_h^{NC}使得
ah(uh,vh)=Fh(vh),vhVhNC a_h(u_h, v_h) = F_h(v_h), \quad \forall v_h \in V_h^{NC}

uuhVhNCChuH2(Ω) || u - u_h ||_{V_h^{NC}} \leq Ch|u|_{H^2(\Omega)}

vvhVhNC=[ah(vh,vh)]12 || v-v_h ||_{V_h^{NC}} = [a_h(v_h, v_h)]^{\frac{1}{2}}

通过对偶论证可以提升一阶

uuhL2(Ω)Ch2uH2(Ω) || u - u_h ||_{L^2(\Omega)} \leq Ch^2 |u|_{H^2(\Omega)}

例如

DG 方法可以看作是非协调方法,空间很自由,没有任何连续性要求,因此空间构造很简单,因此难度是aha_h的选择。

VhDG={vh:ΩR,vhKPr(K),KTh}=ΠKPr(K) V_h^{DG} = \{ v_h: \Omega \rightarrow R, v_h|_K \in P_r(K) , \forall K \in \mathcal T_h\} = \Pi_{K} P_r(K)

有限元方法的应用应用

这里不给出弱形式

Linear elasticity

σ(u)=f, in ΩRn;u=0, on ω. -\nabla \cdot \sigma(\bm u) = \bm f,\quad \text{ in } \Omega \subset \mathbb R^n;\quad \bm u=0, \quad \text{ on } \partial \omega.
σ(u)=λu+μϵ(u)\sigma(\bm u) = \lambda\nabla \cdot \bm u + \mu\epsilon(\bm u)为stress张量,ϵ(u)=12(u+uT)\epsilon(\bm u)=\frac{1}{2}(\nabla \bm u + \nabla \bm u ^T)为strain张量,u\bm u为位移向量

注:实际中σ\sigmau\bm u重要得多

不可压流

{νΔu+p=f in Ωu=0 in Ωu=0, on Ω \begin{cases} \nu \Delta \bm u + \nabla p = \bm f &\text{ in } \Omega\\ \nabla \cdot \bm u = 0 &\text{ in } \Omega\\ \bm u = 0 , &\text{ on }\partial \Omega \end{cases}

N-S方程

{νΔu+(u)u+p=f in Ωu=0 in Ωu=0, on Ω \begin{cases} \nu \Delta \bm u +(\bm u \cdot \nabla) \bm u+ \nabla p = \bm f &\text{ in } \Omega\\ \nabla \cdot \bm u = 0 &\text{ in } \Omega\\ \bm u = 0 , &\text{ on }\partial \Omega \end{cases}
其中(u)u(\bm u \cdot \nabla) \bm u为非线性项
速度u\bm u可以选择散度为0的空间,从而上述第二个方程可以不用处理,但是这种空间不是很好构造,比较流行的方法是混合格式

注:混合格式虽然不满足强制性,但是满足弱强制性,因此可以选择用
Banach-Nireberg Necas

练习


笔记主页