20190726个人笔记(川大)

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复习回顾

方程
变分原理

注:变分格式不唯一

节点基函数

三角形/四面体C1C^1元的构造

全局基函数限制在单元上,非零函数值在某个单元上会得到一个局部节点基函数,因此只需要考虑单元上的节点基函数

空间维数 多项式次数 自由度个数
C1C^1 2 5 21
C1C^1 3 9 220

注:C1C^1元又叫做Arggris元,21个自由度的分布,每个顶点各占6个(二阶偏导),每条边上各1个(方向导数)。

三角形C1C^1元的改进

去掉边界上的3个自由度,可以改进到18个自由度,可参考Arggris的文章

H1H^1元的定理

定义:Vhr={vhC0(Ω):vhKPr(K)}V_h^r = \{v_h\in C^0(\Omega): v_h|_K\in \mathcal P_r(K)\}

Vrh={vh:ΩR;vhKPr(K),vh在所有自由度上连续} V_r^h = \{ v_h: \Omega\rightarrow R; v_h|_K\in \mathcal P_r(K), v_h\text{在所有自由度上连续} \}

于是有Vhr=VrhV_h^r = V_r^h

H2H^2元的定理

同样定义:Vhr={vhC1(Ω):vhKPr(K)}V_h^r = \{v_h\in C^1(\Omega): v_h|_K\in \mathcal P_r(K)\}
Uhr={uh:ΩR;uhKPr(K),uh在所有自由度上函数值和一阶导数值连续}U_h^r = \{ u_h: \Omega\rightarrow R; u_h|_K\in \mathcal P_r(K), u_h\text{在所有自由度上函数值和一阶导数值连续} \}
于是有Vhr=UhrV_h^r = U_h^r

例子

矩形H1H^1元例子

矩形H2H^2元例子

四面体H1H^1元例子

长方体H1H^1元例子

有限元方法总结

PDE 问题(GP)(GP):
Find uV,s.t.    a(u,v)=F(v),vV. \text{Find } u \in V, s.t. \;\; a(u,v)=F(v), \quad \forall v\in V.
FEM (GP)h(GP)_h:
Find uhVh,s.t.    a(uh,vh)=F(vh),vhVh. \text{Find } u_h \in V_h, s.t. \;\; a(u_h,v_h)=F(v_h), \quad \forall v_h\in V_h.
这里(GP)h(GP)_h等价于一个线性系统
Ahsh=bh A_h\bm{s}_h = \bm{b}_h
当L-M定理成立时,AhA_h是正定的

xTAhx=a(x,x)αxV2 x^TA_hx = a(x, x) \geq \alpha || x ||_V^2

如果a(,)a(,)是对称的 ,AhA_h是对称的
Ahij=a(ϕj,ϕi)=a(ϕi,ϕj)=Ahji{A_h}_{ij} = a(\phi_j, \phi_i) = a(\phi_i, \phi_j)={A_h}_{ji}

定理

limh0uuhv=0. \lim_{h\rightarrow0} || u- u_h ||_v = 0.
这是因为
limh0Vrh=V. \lim_{h\rightarrow0} V_r^h = V.

有限元插值理论


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