20190725个人笔记(川大)

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模型问题

扩散问题

{(au)+cu=f,in Ωu=0,On Ω \begin{cases} -\nabla \cdot (a \nabla u) + cu = f, \quad &\text{in } \Omega\\ u=0, \quad & \text{On } \partial \Omega \end{cases}

Vg={vH1(Ω),vΩ=g} V_g= \{ v\in H^{1}(\Omega) , v|_{\partial \Omega} = g\}

注:VgV_g不是空间,只是用于分析

wH1(Ω)w \in H^1(\Omega), 使得wΩ=gw|_{\partial \Omega} = g
定义新的函数
u^=uw \hat{u} = u -w
于是可以转化为齐次边界条件
{(u^)=f(w),in Ωu^=0,On Ω \begin{cases} -\nabla \cdot (\nabla \hat u) = f -\nabla \cdot (\nabla w) , \quad &\text{in } \Omega\\ \hat u=0, \quad & \text{On } \partial \Omega \end{cases}

分部积分
弱形式
PDE问题
变分问题

注:弱形式不一定有变分问题

问题的等价性

u=arg minvVJ(v)=12a(v,v)F(v) u = \argmin_{v\in V} J(v) = \frac{1}{2}a(v, v) - F(v)
Proof:

Abstract Garlerkin method

数值格式

(GP): Find uVu \in V s.t.
a(u,v)=F(v),vV. a(u,v) = F(v), \quad v \in V.
Let VNVV_N \subset V.
(GP)_N: Find uNVNu_N \in V_N s.t.
a(uN,vN)=F(vN),vNVN. a(u_N, v_N) = F(v_N), \quad v_N \in V_N.

存在唯一性

误差分析

目标: 是否收敛,收敛速度如何

Cea Lemma:*

uuNVCαinfvVNuvN=CαuQNu || u - u_N||_V \leq \frac{C}{\alpha} \inf_{v \in V_N} || u - v_N || =\frac{C}{\alpha} || u - Q_Nu ||
证明: 注意这里的协调性VNVV_N \subset V.
Step 1: 误差方程
a(uuN,vN)=0,vNVN.a(u-u_N, v_N) = 0 , \quad \forall v_N \in V_N .
Step 2: 利用误差方程和强制有界性
αuuNV2a(uuN,uuN)=a(uuN,uvN), \alpha || u - u_N ||_V^2 \leq a(u - u_N, u-u_N) = a(u-u_N, u-v_N) ,
于是有
αuuNV2CuuNVuvNV. \alpha || u - u_N ||_V^2 \leq C||u-u_N ||_V || u-v_N ||_V .
证毕。

插值

一般意义是点的插值,如果对于不光滑的解,则需要用插值算子定义插值。
INI_NVNV_N上的插值算子,QNQ_NVNV_N上的投影算子。

性质
limNuuNV=0. \lim_{N\rightarrow\infty} || u - u_N ||_V = 0.

注:Galerkin-Method可以直接证明解的存在唯一性

注:如果VN=PN(Ω)V_N = \mathcal P_N(\Omega) 是整体多项式就是谱方法。

注:如果在Cea Lemma里加一个条件(aa对称),可以改变前面的系数

注:有限元方法是Galerkin-Method的一个特殊情形
DG方法也是Galerkin-Method的一个特殊情形

FEM细节

注:逼近空间也可以选择非多项式,例如有理多项式

逼近空间一般有两种
Vr(K)=Pr(K) or Qr(K) V_r(K) = P_r(K) \text{ or } Q_r(K)
其中PrP_r表示三角形网格,整体多项式次数不超过rr; QrQ_r表示矩形网格,每个方向多项式次数不超过rr

dim(Pr(K))=(d+r)!d!r!, \dim(P_r(K)) = \frac{(d+r)!}{d!r!},

dim(Qr(K))=(r+1)d. \dim(Q_r(K)) = (r+1)^d.
其中dd为空间维数。

对于2阶椭圆问题V=H1(Ω)V = H^1(\Omega),
Δu=f,u=0 On Ω. -\Delta u = f,\quad u=0 \text{ On } \partial \Omega.

对于4阶椭圆问题V=H2(Ω)V = H^2(\Omega),
Δ2u=f,u=un=0 On Ω. -\Delta^2 u = f,\quad u = \frac{\partial u}{\partial \bm n}=0 \text{ On } \partial \Omega.

它们的逼近空间
VhH1(Ω) iff VhC0(Ω) V_h \subset H^1(\Omega) \text{ iff } V_h \subset C^0(\Omega)

VhH2(Ω) iff VhC1(Ω) V_h \subset H^2(\Omega) \text{ iff } V_h \subset C^1(\Omega)

V=H1(Ω)V = H^{1}(\Omega)为例,取
Vh=span{ϕi}i=1N V_h = \text{span}\{ \phi_i \}_{i=1}^N

Nodal basis: 从略

习题


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